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直接证明 综合法

证明范文 时间:2018-05-15 手机版
  [直接证明 综合法]直接证明 综合法

数学方法之综合与分析法篇

一、使用综合法

综合法是从已知出发,经过逐步推理,最后导出所要达到的结论. 可以看出,若使用综合法求解问题,一定要将条件与结论结合起来,看看条件、再看看结论,如何架好从条件通往结论的桥梁?

1:设 ,求证: 证明:由于a,b为非负实数时, ,得 .

那么 上述第一个不等式中等号成立的条件为2x-3=15-3x,解得 故原不等式成立.

点评:本题的证明不重要,产生这个证明方法的思维过程很重要;你知道怎么产生的吗?是综合法的“功劳”,请看:欲从左边证到右边,必须消去x;如何消?只有经过平方,才能将x从根号中“解救”出来,“解救”出来后才有消去的可能;于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式,慢慢的 就“浮出面”, 解法自然也就诞生了.

二、使用分析法

分析法是从结论出发,逐步寻找使结论成立的充分条件,直到找到一个明显成立的条件,这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等,可以看出,若使用分析求解问题,对结论的简化与转化很重要,它是向条件靠拢的重要措施.

2:设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,求证:3S≤I 2<4S.

证明:由于I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,

故欲证3S≤I 2<4S,只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S, 只需证S≤a 2+b2+c2<2S,

即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,

只需证a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,

先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需证2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,

即 ,显然,此式成立.

再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca, 只需证 ,

只需证 ;

只需证 为三角形的三边长. 显然,结论成立

故3S≤I 2<4S.

点评:本题从表面上看不易“征服”,但通过分析法将结论逐步转化,由看上去很难“接受”的3S≤I 2<4S,转化为较为熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,显然,这比原题的结论看上去要“舒服”多了,当然,求解也就顺畅了很多.

三、综合与分析法同时使用

3:试证:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,

直接证明 综合法

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直接证明 综合法》(http://www.tengjiaoyu.com)。并且方向相同,那么这两个角相等.

已知:如右图,∠BAC∥∠B′A′C′中,

AB∥A′B′且AC∥A′C′,且两角的方向相同,

求证:∠BAC=∠B′A′C′.

分析:(1)∠BAC与B ′A′C′不可能用

平行线的性质,只有考虑构造两个全等的三角

形,再设法证明两三角形全等,为此,分别在

AC,AB,A′C′,A′B′上截取AE =A′E′,

AD =A′D′,连结DE,D′E′,得到△ADE,

△A′D′E′;

(2)欲证这两三角形全等,只需证DE=D′E′;

(3)只需证DEE′D′是平行四边形,也就是DD′

平行且等于EE′;

(4)只需证“DD′平行且等于AA′且EE′平行且

等于AA′”;

(5)只需证ADD′A′与AEE′A′均为平行四边形,显然这是一个成立的结论.

证明:由于ADD′A′是平行四边形,则DD′平行且等于AA′; 同理,得

EE′平行且等于AA′.

于是DD′平行且等于EE′,那么DEE′D′是平行四边形,得DE=D′E′.

在△ADE与△A′D′E′中,由于AE =A′E′,AD =A′D′且DE =D′E′,因此,△ADE全等于△A′D′E′,从而∠BAC =∠B′A′C′.

点评:分析法找思较为自然,容易产生解题思路与方法,但由于是“逆行”往往叙述较为复杂;而综合法产生的解法往往又显得很突然,一时不知此法由何而来. 于是,二者结合,互相弥补便成了大家提倡的,即“用分析法找思路,用综合法写过程”是十分行之有效的方法.

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